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En la antigüedad los griegos, desde antes de Euclides (330 – 275 AC) resolvían situaciones cuadráticas basándose en un método geométrico donde hacían intervenir cuadrados y rectángulos.

 En este caso nos dedicaremos al estudio de la función cuadrática, por medio de la cual es posible modelizar el comportamiento de fenómenos, tales como las curvas que describen las siguientes figuras:

 

La función cuadrática es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado

 

Tiene la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

Donde a, b y c son números reales cuales quieras y a distinto de cero.

 

Gráfico de la función cuadrática:

En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:

• üSu forma depende del coeficiente a x2.
• Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.
• Si a > 0 la parábola es cóncava o con sus ramas hacia arriba.
• Si a < 0 la parábola es convexa o con sus ramas hacia abajo.
• Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.
• Existe un único punto de corte al eje y, que es (0,c).

 

Concavidad y convexidad:

 

ü En las funciones cuadráticas podemos distinguir entre las que tienen concavidad positiva y las     que tienen concavidad negativa.

ü En ambas encontramos un punto extremo, llamado vértice, que puede ser el máximo o el mínimo de la función.

 

Raíces:

 

 Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.

 

Ordenada al origen:

Es la coordenada en donde la parábola corta al eje y. Para encontrarla debemos calcular x = 0, es decir será el punto (0,c)

Eje de simetría:

Es la recta que divide simétricamente a la curva, es decir, la separa en dos partes congruentes. Este eje atraviesa el vértice

 

Cálculo de raíces y vértice:

Fórmulas para calcular raíces:

 

Fórmula para calcular el vértice:

 

Las funciones cuadráticas pueden o no tener raíces:

üPara resolver ecuaciones de segundo grado y saber si este tiene raíces hay un método que fue descubierto por Bháskara, un matemático Hindú.

üEn la fórmula aparece la raíz cuadrada del término b2-4.a.c. A este término se le llama discriminante, porque nos ayuda a discriminar si la función cuadrática tendrá o no raíces reales.

 

Observamos el discriminante:

 

 

Crecimiento y decrecimiento: